“深度剖析“多次相遇问题”解题妙招”

本篇文章3829字，读完约10分钟

近年来，随着公务员考试“高烧不退”的现象持续，国考试题的难度也越来越大。 过程作为每年必考的题型，在试题的创新性上有很大的试题空之间。 综合几年的真题来看，通常的题型是每年考试的“主力”，但更多复杂的“多次相遇”试题是这两年来第一次尝试锋芒。 笔者总结道，总是想向大家展示多次遇到的问题在今后的考试中可能出现的几种模式，起到给备考广泛的考生抛砖引玉的作用。

“多次相遇”的问题有直线型和环型两种模式。 总的来说，直线出题的模型比较多，比较复杂。 环型是一个简单的周期问题。 现在，我们分别说明。 首先，让我们来看看直线型多次相遇的问题。

一、直线型

直线型多次相遇的问题从宏观上分为“两岸型”和“两岸型”两种。 “两岸型”是指甲、乙两人从道路两端出发，面对面而去。 “单岸型”是指甲、乙两人从道路的一端出发，向同一方向走。 现在分别进行介绍。

(一)两岸型

两岸型甲、乙两人的相遇分为两种情况，可以是正面相遇，也可以是背面相遇。 在干部没有证明是怎样的相遇的情况下，考生必须考虑两种情况。

1、正面见面:

如下图所示，甲、乙两人从a、b两处相对，第一次见面在a处，(为了清楚地表示两人的步行路程，将两人的路线分开描绘)走第一次路线，到了对岸的b，两人第二次见面 之后每次相遇都走了两条路。 所以，第三次相遇一共走了五个全程。 按顺序类推，第n次相遇是两个人走过的路程和( 2n-1 ) s、s是全程。

而且，第二次相遇多的程度是第一次相遇的两倍，分开来看，都是两倍的关系，经常可以用这两倍的关系来求解。 即对甲和乙来说，从a到c的路程是从起点到a的两倍。

见面的次数用全程的个数再数全程的数量

1 1 1

322

32

42

…； …； …；

n 2n-1 2型火箭

2、在背面追逐邂逅

类似于正面相遇，背面相遇可以假设同一个甲、乙两个人从a、b两地出发，如下图所示，此时全程4部，甲1分钟走1部，乙1分钟走5部。 第一次背面相遇是在a，再过了一分钟，两人在b相遇，到第三分钟，甲相遇3分钟，乙相遇15分钟，两人在c相遇。 请注意，第一次背面相遇时，两人的路程差是一个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差是三个全程。 同样，第二次相遇多的路程是第一次相遇的两倍，光看每个人多的路程，也是第一次的两倍。 按顺序类推，第n次遇到背面的两人的路程差为( 2n-1 ) s。

(2)单岸型

单岸型两人从一端出发，类似两岸型，即使是单岸型也有正面的会面和背面的追尾邂逅。

1、正面见面:

如下图所示，假设甲、乙两个人从a端出发，全程3份，甲每分钟走2份，乙每分钟走4份，那么甲乙第一次在a处相遇时，甲2份，乙4份，还有1分钟，甲4份，乙8份，乙2处相遇时，如下图所示

2、在背面追逐邂逅

和正面的相遇很像。 假设全程3部，甲每分钟走1部，乙每分钟走7部，那么第一次背面相遇在a处，2分钟后甲2部，乙14部，两人在b处相遇。 第一次相遇时，两个人走的路程差为2s，两个人走的路程差为4s，依次类推，第n次相遇时，两个人的路程差为2ns。

“直线型”总结(背诵)

①两岸型:

第n次相遇，两人的路程之和为( 2n-1 ) s。

在第n次背面追逐邂逅，两人的路程差为( 2n-1 ) s。

②单岸型:

第n次相遇，两人的路程之和为2ns。

在第n次背面追逐相遇，两人的距离相差2ns。

下面列举几个今后可能报考的直线型多次相遇问题中常见的模型。

{模型1 } :根据2倍的关系求出ab两地的距离。

【例1】甲、乙两人往返于a、b两地散步，甲从a出发，乙从b出发，第一次遇到了点距离b

 ； 60米，乙从a回来的时候走了10米第二次遇见了甲。 a、b距离多少米

a、150 b、170 c、180 d和200

【答案和分析】b。 如下图所示，第一次相遇是a，第二次相遇是b，ab的距离是60，ab的距离是10。 以乙方为研究对象，由于两倍的关系，乙方从a到a再到b，走了第一次遇到的两倍，即60×。 如果2=120米，ab为10，aa的距离为120-10=110米，那么ab的距离为110+60=170米。

 ；

{模型2 } :告诉两个人的速度和所给的时间，求出相遇的次数。

【例2】甲、乙两人在长30米的游泳池游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。

 ； 两人分别从游泳池两端出发，摸着墙壁回到原路，往返。 如果没有转身的时间

 ； 从出发开始数的1分50秒内，两人相遇了几次？

、2 b、3 c、4 d和5

【答案和分析】b。 因为不说标题是正面还是背面，所以应该计算两个相遇的次数。 分开讨论，如果真的相遇，走路全程个数为个，对面相遇n次，走路全程2n-1=5，求n=3。 如果在背面相遇的话，因为步行的全程数是，所以1分50秒以内在背面不可能相遇。 所以遇见了三次。

{模型3 } :告诉2人的速度和任意2次正面相遇的距离，求出ab两地的距离。

【例3】甲、乙车辆分别从a、b两地出发，在a、b之间往返行驶。 甲车每小时一行

 ； 20公里，乙车每小时行驶50公里，已知距车辆第10次相遇的地方60公里

 ； a、b距离多少公里？

a、95 b、100 c、105 d和110

【答案和分析】c。 而在此期间，甲乙所走的路程比为20:50=2:5。 如果全程为7部，那么第一次相遇走一个全程时，甲走2部，乙走5部。 甲是研究对象(乙也可以)，第10次相遇在所有行程数中为2×； 10-1=19个，甲方走1条全程2份，就可以走19条全程19×； =38份。 7部为全过程，38部共38÷部； 7 = 5和# 8230； 3份(商为偶数时从甲的一端开始计数，0也为偶数； 商为奇数时从乙方一端开始数，如第一全程在乙方一端，第二全程在甲方一端)从乙方一端开始数三份。 同样是第18次相遇，甲跑的份数是(2×； 18-1 )×2=70份共计70÷份； 7=10个全程，10为偶数在甲方端点。 下图:

 ；

第10次相遇和第18次相遇共计4份60公里，所以ab的长度为公里。

w点评:要给出任意两次距离，首先根据速度转换为全过程的份数，以一个为研究对象，看遇到的次数内走的全过程的份数，然后根据一个全过程的份数，将走研究对象的总份数与全过程的份数相差

【例4】甲、乙车辆分别从a、b两地出发，在a、b之间往返行驶。 甲车每小时一行

 ； 已知45公里，乙车每小时行驶36公里，第二次和第三次相遇的地方相距40公里

 ； a、b距离多少公里？

a、90 b、180 c、270 d和110

【答案和分析】a。 法一:同上的问题。 而且甲、乙的路程比为45:36=5:4，将全程分成9份。 一个跑道甲走五份，乙走四份。 甲方是研究对象，第二次相遇，走路全程数为2×； 2-1=3个，甲跑的份数为3×； 5=15份，一个全程9份，第二次遇到的甲方所做的份数变为全程的个数为15÷； 9=1…； 6份，乙端起6份。 第3次相遇步行的份数是(2×； 3-1 )×5=25份，转换为全程的个数为25÷； 9 = 2和# 8230； 从甲端开始的七部。 下图:

如果第2次和第3次相遇之间总共有4份40公里，那么ab就相距=90公里。

法二:在此引入“沙漏模型”。 利用沙漏作为解开的前提，是通过题干知道两人的速度。 在相同路程的条件下将速度转换为两人的时间比，将刻画时间，绘制两人到达对岸的路线图，两人走的路线图的交点就是两人相遇的地方。 s-t图的路线，由于与古代记载时间的沙漏相似，因此被称为“沙漏模型”。 在本问题中，甲、乙到达端点所需的时间比为36:45=4:5。 下图:

根据路线图，甲乙第2次相遇和第3次相遇的交点e和o，由于三角形相似，被要求为ce:eg=3:6=1:2，第2次相遇和a地的比例为s/3，相同的do:on=7:2，第3次相遇

w点评:如果考生能掌握“沙漏”的模型，就能直观迅速地提高解题速度。 交点是评价相遇还是在背面相遇的绝佳方法。 证明交叉的两条线是从同一岸引出的，还是两岸引出的，同一岸在背面相遇，还是不同的岸在正面相遇。

时观察:通常可以在题干相关的相遇次数少的时候画。 见面次数太多的话，会消耗很多时间，不利于加快速度。 的单位刻度必须看时间比，时间比的数据大时，刻度可以变大。

{模型4 } :教两个人的速度，遇到的次数少的情况下，利用s-t图制作“沙漏”模型的速解。

【例5】a、b两地相距950米。 甲、乙两人从a地出发往返运动30分钟。 甲走着，每天

 ； 自己走40米。 乙方跑步，每分钟走150米。 则甲、乙两人在第几次相遇时离b地最近。

1 b、2 c、3 d和4

【答案和分析】b。 利用沙漏模型。 甲乙走到端点的时间比为150:40=15:4，半个小时内两人共同走过的全程数为个。 在单岸型中，如果遇到6个全程，就会用对面第三次的相遇(从上一个式子出发)来画s-t图。

由上图可见，在第三次相遇的过程中，甲乙双方曾一次在背面相遇(交点由同一事物引出)。 并且，3次相遇中第2次相遇离b地最近，同时可以根据三角形的相似度求出离b地的距离。

【例6】河道跑道长120米，水流速度2米/秒，甲船静水速度6米/秒，乙船静水速度

 ； 4米/秒。 比赛往返两次，甲、乙然后从起点出发，先顺水航行，几秒后甲、

 ； 乙船是第二次相遇吗？

a、48 b、50 c、52 d和54

【答案和分析】c。 从问题中，可以得到以下关系。

 ；

顺流

逆流

甲

8 (十五)

4(30 )

乙

6(20 )

2(60 )

 ； 注:( )表示完全行程的时间。

假设从a到b为顺流，从上表可以看出甲、乙第二次见面共4个全程。 因为甲的速度很快，所以在第二次相遇之前甲走了两个全程。 共计15+30=45秒。 第45秒，乙方走了顺流全程20秒和25秒的逆流。 步行的路程是25×； 2=50米，剩下的70米，假设甲乙双方顺流和逆流的相遇时间分别为t，则为70=(8+2)×t，求t=7秒，则共享时间45+7=52秒。

这个问题也可以用“沙漏模型”来处理。 根据上表的速度关系，一个全过程的时间关系如下。

 ；

顺流

逆流

甲

3

6

乙

4

12

由于时间的关系，s-t图像如下。

 ； 注意上图，第二次真正相遇在p点，以甲方为对象计算时间，甲方为顺流、逆流，另外ep段为顺流，可以根据三角形相似求出离家出走ep的时间ep:pn=ef:mn=7:8，根据上表求出ep的时间

二、环型

环型主要分为甲、乙两人在同一个地方反向相遇(不可在背面相遇)和甲、乙两人在同一个地方向背面追尾相遇(不可在正面相遇)。 分开讨论如下。

(一)甲、乙两人从a地然后反方向出发。

如下图所示，一个周长分为四部分，假设甲顺时针从1分钟走到b，乙逆时针从3分钟走到b，那么第一次遇到的两个人就走了一个周长。 再过一分钟，甲又从一分钟到c，同一个乙从三分钟到c，第二次相遇就各两个，一次接一次，可以看出是第n次见面。

(二)甲、乙两人从a地且同方向出发。

如下图所示，将所有路线分割为4部分。 假设甲、乙都顺时针出发，甲每分钟走一份，乙每分钟走五份，那么一分钟后两人在b初次在背面相遇，两人走的路程差一个周长。 再过一分钟，从甲到c，从乙到c，两人在第二次背面相遇，走得多的路程差在同一周长，依次类推，在第n次背面相遇，路程差在n次。

环型多次相遇的问题相对简单，甲、乙不在同一地方时相对困难。 例如在直径的两端出发。 考生可以通过以下例题掌握。

(例1 )小张和小王两个人在周围400米的圆形池塘里散步。 小张每分钟走9米，小王每天走

 ； 自己走十六米。 现在两个人从同一个反方向走，出发几分钟后他们是第三次相遇吗？

a、33 b、45 c、48 d和56

【答案和分析】c。 最初的相遇时间为400÷(9+16 ) =16，第三个相遇时间为16×； =48。

【例2】小明、小亮从400米环状跑道的同一部分出发，背对背走。 他们初次相遇的时候，小

 ； 明转身回来了。再次相遇时，晓转身回来了。 之后的相遇分别由小明和小亮两人交往

 ； 转身，以小明速度3米/秒，小亮速度5米/秒，两人第30次相遇时，小明一同逃走。

 ； 多少米？

a、11250 b、11350 c、11420 d和11480

【答案和分析】a。 根据题意，第一次是正面相遇，第二次是背面相遇，之后都是正面和背面相遇。 30次相遇中，正面相遇15次，背面相遇15次。 真正相遇一次用400÷(3+5) =50，背面相遇一次用400÷(5-3) =200，在30次相遇共用的情况下

15×(50+200 ) =3750s的话，这个时间跑的路程是3750×； 3=11250米。

【例3】甲、乙两人分别从圆形场地直径的两端点开始，等速朝相反方向绕着这条圆形道路旋转

 ； 纱线运动是在乙方走了100米之后，他们第一次相遇。 甲在一周前的60米又遇到了第二次。

 ； 这个圆形地方的周长是多少米？

a、320 b、360 c、420 d和480

【答案和分析】d。 如下图所示，假设甲、乙分别在直径a、b的两端顺时针和逆时针移动。 第一次相遇在c点距离b点100米，第二次相遇在d点，距离a点60米。

在直径端点的两岸行走时，如果能将环型变为直线型，那么第二次相遇各人所走的路将是第一次相遇的两倍。 以乙方为对象，从c到d的道路是从b到c的2倍，为200米，ad为60米，所以ca为200-60=140米，因此一半周长为100+140=240米，周长为240× 2=480米。

 ；

总结

对于多次遇到的问题，近年来随着题目难度的增加，逐渐成为考试的主角。 考生在备考中要有意识地培养上述几个模型解题妙手。 特别是直线型的多次出题，对于给定了两者速度的问题，出题次数少，能够熟练使用“沙漏模型”进行解题，能够直观更有效地提高解题速度。 环型中，不像直线型那样多，可以通过观察相遇的次数来解决，要么是正对面，要么是赶上相遇，可以用公式迅速求解。 最后，祝上述几个模型解题妙手起到向各位考生抛砖引玉的作用，并祝各位考生取得理想成绩。

联系方法:

电话: 18217365716

邮箱: sz-qinzm@htexam

华图教育秦志敏